Martin Crimp, nasceu em 1956 em Dartford, Kent. Na escola demonstra a sua habilidade para idiomas como o francês, latin e grego, mas também para música. Martin Crimp estudou literatura na Universidade de Cambridge, onde completou os estudos em 1978. Nos anos 80, Martin Crimp inicia a sua carreira como dramaturgo, escrevendo para a rádio. A sua primeira peça, Clang, influenciada por Beckett e Ionesco, é dirigida pelo seu colega, Roger Michell. Martin Crimp diz ser influenciado por Beckett, num modelo da experimentação formal do teatro e pela escrita de Pinter na forma dos diálogos oscilantes marcados pelo selo da originalidade. Em 1985 Three Attempted Acts, vence o prémio do Giles Cooper Award, e em 1986 Definitely the Bahamas, é vencedora do Radio Times Drama Award.
As suas primeiras peças para teatro foram criadas pelo Orange Tree Theatre de Richmond, na periferia de Londres. Entre 1982 e 1987 o Orange Tree Theatre produziu: Living Remains, Four Attempted Acts, A Variety of Death-Defying Acts, Definitely the Bahamas, Dealing With Clair e Play With Repeats. Em 1988 é escritor residente do Orange Tree Theatre no âmbito do programa da Thames Television. Paralelamente toca piano e cravo, ensina música e trabalha no Coro de Câmara de Canonbury.
Foi no decorrer dos anos 90 que as suas peças começaram a ser reconhecidas fora das fronteiras britânicas, nomeadamente graças a uma residência em Nova Iorque e à sua colaboração no Royal Court Theatre de Londres em 1997, na qualidade de autor associado.
Em 1990, No One Sees the Video é a primeira peça criada pelo Royal Court Theatre, seguindo-se Getting Attention, The Treatment, Attemps on Her Life, The Country, Face to the Wall, Fewer Emergencies, The City e In the Republic of Happiness.
A peça Attemps on Her Life, criada pela primeira vez no Royal Court em 1997, foi posteriormente traduzida para 20 idiomas e produzida em Nova Iorque e em Los Angels (2002 e 2007).
Tracce di Anne é criada pelo Piccolo Teatro de Milão (1999), The Country foi criado no Berliner Ensemble, Schauspielhaus Zürich em co-produção com o Festival de Outono de Paris e Théâtre de la Colline (2001), Into the Little Hill, com partitura musical Georges Benjamin foi produzida pela Ópera de Paris (2006) e Face au Mur; Tout va mieux; Ciel blue ciel, foi criado do Théatre de la Colline (2008).
Em 2008 Crimp colabora na criação dos diálogos do filme Angel do realizador François Ozon.
Crimp é também tradutor e adaptador de Ionesco, Koltés, Molière e Genet.
The Misanthrope, versão da peça Molière, é criada pelo Young Vic, e pelo CSC Theatre, Nova Iorque, com Uma Thurman e Roger Rees; The Chairs, tradução da peça de Eugène Ionesco, criação do Royal Court Theatre e Théâtre de Complicite; Roberto Zucco, versão inglesa da peça de Bernard-Marie Koltès, criado pelo Royal Shakespeare Company; The Maids, tradução da peça de Jean Genet, criado pelo Young Vic; The Triumph of Love, versão inglesa da peça de Marivaux, The Almeida Theatre.
Em 2012 faz a sua primeira encenação, Play House / Definitely the Bahamas, no Orange Tree Theatre de Richmond e escreve In the Republic of Happiness para o Royal Court Theatre.
Ainda em 2012 volta a colaborar com o compositor George Benjamin, escrevendo o libretto para a ópera Written on the Skin estreada no Aix-en-Provence Festival.
Em Maio de 2018, estreará com George Benjamin, a ópera Lessons in Love and Violence no Royal Opera House, antes das apresentações em Amsterdão, Hamburgo, Lyon, Chicago, Barcelona e Madrid.